Produit du système de formation d'IL Hodd, Aursnes, âgé de seulement 16 ans, était au plus haut niveau du club lorsqu'en 2012, en division inférieure, il a soulevé la Coupe de Norvège.
Le milieu de terrain est resté à l'IL Hodd jusqu'en janvier 2016, date à laquelle il a rejoint Molde, un club où il s'est démarqué et pour lequel il a remporté le championnat norvégien en 2019.
La solidité compétitive d'Aursnes a suscité l'intérêt du club néerlandais de Feyenoord qui, en août 2021, s’est avancé pour le faire signer. Au club de Rotterdam, il a fait 49 apparitions, a marqué un but et a été un élément très important de l'équipe qui a disputé la finale de la Ligue Conférence contre la Roma en 2021/22.
