Kökcü pasó por Olympia Haarlem, HFC EDO, Stormvogels y Groningen antes de unirse a las categorías inferiores del Feyenoord en 2014. El centrocampista debutó con el primer equipo del club de Róterdam con solo 17 años en un partido de la Copa de los Países Bajos contra el VV Gemert, donde anotó uno de los goles en la victoria por 4-1, disputado el 17 de septiembre de 2018.
En la temporada 2022/23, ya como capitán del Feyenoord, Kökcü lideró a su equipo hacia el título de la Eredivisie y fue nombrado dos veces Jugador del Año, una vez por un jurado de 35 internacionales neerlandeses y también por los votos de los capitanes de los equipos participantes.
Elegible para representar a los Países Bajos y a Turquía, Kökcü optó por jugar con la selección absoluta de Turquía tras haber pasado por las categorías Sub-17, Sub-18 y Sub-19 de los Países Bajos. Su debut tuvo lugar el 6 de septiembre de 2020 en un partido de la Liga de Naciones.
